Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Нека да направим няколко словестни задачи, които по същество се занимават
с наклон на права.
Може да ги видите посочени като директни
вариационни модели, защото ще моделираме това, което
е описано в тази задача.
Ние ще го начертаем и след това дано да бъдем
в състояние действително да отговорим на техния въпрос.
Нека да видим какво ни питат.
Настоящият стандарт за водоспестяващи слушалки за душ е 2.5
галона за минута.
2.5 галона за минута. Добре.
Изчислете, колко време ще отнеме да напълните 30 галонна
вана с помощта на такъв душ,
за да осигурите необходимата вода.
Това, което можем да направим тук е да установим директен вариационен
модел, което звучи много модерно, но той просто казва, ОК,
нека създадем малко уравнение, което описва колко
галона ще напълним - или колко галона ще
сме използвали след определен брой минути.
И така, нека кажем, че имаме галоните са равни на скоростта,
с която пълним галоните.
Така че, ще бъде 2.5 галона за минута по
броя на минутите.
По минутите.
Ще кажа m за минути и g за галони.
Ние просто направихме нашия директен вариационен модел.
Нищо по-особено от това.
Сега имаме уравнение, което описва: дайте ми
броя на минутите и аз ще умножа това по 2.5,
защото това е колко бързо пълним ваната.
И така, след 1 минута, 1 по 2.5, имаме 2.5 галона.
След 2 минути, имаме 2 по 2.5, ще имаме 5 галона.
Така че, това е нашият модел.
И това също е една права.
Запомнете, формата на правата е y е равно на mx плюс b.
Тук нямаме b.
b го няма.
Ние имаме само m по x.
Сега наричаме х минути, а y сега
наричаме галони и наклона сега е 2.5.
Нека поставя тези преди още да съм отговорим на техния въпрос.
Вместо да наричаме това оста х - помнете х е
независимата променлива, сега ще са минутите,
през които пълним.
Така че, това е оста m за минути.
А вертикалната ос, вместо да я наричаме оста y, аз
ще я нарека оста g за броя на галоните,
които ще напълним.
Ще използвам само положителния квадрант, приемайки
че можем да имаме само положителни минути.
И така, какво се случва тук?
Имаме наклон от 2.5.
Можем също да напишем това, като галоните са равни на - 2.5 е
същото като 5/2 галона за минута по минутите.
Така че, сега ние знаем, че нашия наклон е 5/2.
Бих могъл да използвам също 2.5, но харесвам повече 5/2.
Нашата у -пресечна, която вече знаем е 0.
Няма никаква у-пресечна тук.
Можете да напишете това като плюс 0.
И така, започвате тук, като за начало.
Това е нашата у-пресечна.
И за всяко 2, с което отиваме надясно, се издигаме с 5.
И така, придвижваме се - промяната в х е 2.
Едно, две, три, четири, пет.
Изменението в x е 2.
Едно, две, три, четири, пет.
Ако изменението в х е минус 2, тогава изменението в у ще бъде
минус 5.
Минус 2.
Едно, две, три, четири, пет.
И така нататък и така нататък.
В крайна сметка ще стигнем тук долу.
Така че, нашата права, ако я начертаем, ще изглежда така.
Ще дам най-доброто от себе си, за да мина през всичките точки.
Всъщност, аз току-що казах, че ще го направя само
в първия квадрант.
То наистина няма смисъл в този квадрант тук,
тъй като не може да имате отрицателни минути.
Или не би трябвало да имате отрицателни минути.
Така че, би трябвало да се интересуваме от това, което е тук.
Сега питаме, колко ще отнеме, за да напълним
30-галонна вана?
Сега, за съжаление, моята графика тук не обхвана целия
път до 30 галона.
Ако го беше направила - това са 10 галона до тук.
Това са 10 галона, ако отида три пъти по-високо, бих могъл просто
да разчета графиката.
Но също така можем да го намерим алгебрично тук.
Колко минути ще отнема?
Добре, нека просто направим нашите галони равни на 30.
Така че, имате 30 галона са равни на, ще го направя в
същия цвят, 2.5 галона за минута по минутите.
По минутите.
Сега всичко, което трябва да направим, за да намерим минутите, е да разделим
и двете страни на 2.5 галона за минута.
Разделяме двете страни на 2.5 галона за минута.
2.5 галона за минута.
Посочвам единиците, за да ви покажа, че всъщност всички единици
съвпадат накрая.
И така, това ще се анулира.
То просто ще стане 1.
И така лявата страна - или бихме могли да кажем m - ще
бъде равно на 30, делено на 2.5.
Имаме галони в числителя.
Галони.
Искам да ви покажа, че можете да работите с единиците, също както
работите с реалните числа.
И ако имам галони за минута в знаменателя, ако
разделя на тази дроб, това е същото като
да умножа по неговото обратно.
Това е същото нещо като умножение
по минути за галон.
Нали?
Тези единици бяха в знаменателя.
Когато ги поставя в числителя, аз ги обръщам.
Така че, галони в числителя, галони в знаменателя.
Те се унищожават.
Така че оставам с 30, делено на 2.5 минути.
И колко е 30, делено на 2.5?
Равно е на 12.
Така че, ще ни отнеме 12 минути, за да напълним 30 галонна вана.
Имаме нашите минути ето там.
12 минути.
Нека направим още една.
Еймин е - или може би Еймен, не знам най-добрият начин за
произнасяне на това име - използва маркуч - нека превъртя
малко - използва маркуч, за да напълни своя нов плувен басейн
за първи път.
Той пуска маркуча в 10 часа вечерта - нека пиша това отдолу.
Той започва в 10 ч вечерта - така че това е началото време - и го оставя
да работи през цялата нощ.
В 6 часа сутринта, той измерва дълбочината и изчислява, че
басейнът е 4/7 пълен.
Когато започва в 10 ч вечерта - това е времето, а това е
колко е пълен басейна.
Така че, очевидно когато той го пуска, басейнът е празен.
Това е нов плувен басейн.
Казват ни те.
Така че, басейнът е 0 пълен.
Това е 0 от нещо.
Той е без вода или каквото и да е.
След това в 6 сутринта, той измерва дълбочината и изчислява, че басейнът
е 4/7 пълен.
И така, той е 4/7 пълен.
След колко време неговия нов басейн ще бъде пълен?
Искаме да знаем, кога ще е пълен.
Кога ще е 1/1 пълен?,
Където е 7/7 пълен.
След колко време?
За да направим това, трябва да създадем подобен модел, на този който направихме
последния път.
Бихме могли да кажем, пълнотата на басейна е равна на някаква
константа по периода от времето, което минава.
По периода от времето, което минава.
Знаем, кога времето е равно на 0 - нека го направя по този начин.
Това е времето.
Нека го напиша тук.
Това е времето.
Това е време 0.
Колко е това в часове?
Това е 8 часа по-късно, нали?
Това е време 8.
Не знаем какво е това.
Това е някакво друго време.
И така, когато времето е 0 в 10 часа вечерта, 0 по k, имаме 0 пълнота.
Не сме напълнили нищо.
Когато времето е равно на 8, имаме k по 8. k е скоростта,
с която пълним басейна.
k по 8.
Ние сме на 4/7 пълнота.
Така че сега всъщност можем да намерим колко е k.
Можем да намерим колко е нашата пропорционална константа,
за нашия директен вариационен модел.
Звучи много модерно, но всичко което казваме е: виждте, тази
работа с пълненето на басейна може да бъде изобразена от
уравнение като това.
Количеството, което пълним е непосредствено пропорционално на
периода от време, през което оставяме маркуча пуснат.
А това е пропорционалната константа.
Ние не знаем колко бързо се пълни, но сега можем да намерим
колко бързо се пълни.
Защото знаем, че след 8 часа той е 4/7 пълен.
Така че, за да намерим k, разделяте двете страни на 8 часа.
Така че, получаваме k е равно на 4/7 пълнота, делено на 8 часа, което
е същото нещо като 4/7 по 1/8 пълнота за час.
Така че, ако намерим това, нека видим.
Разделяме на 4.
Разделяме на 4.
Така че, получаваме 1/14 пълнота.
Това е някакъв вид странна единица - пълнота за час.
Или бихте могли да кажете, че ние пълним 1/14 от басейна за един час.
Така че k е 1/14.
Така че тук нашето уравнение - ще пиша тук.
Пълнотата на басейна е равна на 1/14 по времето.
Така че въпросът, на който трябва да отговорим е - кога
това е равно на 1?
След колко време?
И така, нека направим уравнението.
И така, имаме 1.
Това означава, че сме напълно пълни.
Това е равно на 1/14 по времето.
Ако умножим и двете страни на това уравнение по 14,
1/14 и 14 се анулират.
И оставаме с t е равно на 14.
Така че, басейнът ще се напълни след 14 часа.
Не забравяйте, всичко с което си имахме работа бяха часове.
Ако започваме в 10 ч вечерта - това беше време 0 - колко часа ще е
след 14 часа?
10 часа вечерта след един ден - ако отидете до 10 часа сутринта на следващия ден,
Това са 12 часа.
Ето как разсъждавам аз.
Трябва да минем още 2 часа, за да получим 14 часа.
Това е на обяд на следващия ден.
По обяд в деня, следващ този в който започва да пълни, ще бъде
пълен басейна.
Можем да начертаем на графика това.
Имам тази милиметрова хартия тук.
Нека всъщност начертаем всичко, за което говоря.
Уравнението - написал съм го тук - пълнотата е равна на
1/14 по t.
Нека предположим, че всяко от тези деления е две.
Това е две, четири, шест, осем, десет, дванадесет, четиринадесет.
Така че, това ни казва, че ако се изместим с 14, ще се издигнем с 1.
Така че, ако x-изменението е 14, y-изменението е плюс 1.
И аз ще направя тези единици 1, 2.
И така, скалата не е точно идеална.
Наруших малко графиката, но това е 1.
Така че, графиката ще прилича на нещо подобно.
Ето така.
Тя има наклон от 1/14.
Във всеки случай, надявам се да сте намерили това за полезно.
Във всеки случай, надявам се да сте намерили това за полезно.