Tip:
Highlight text to annotate it
X
Този триъгълник, който имаме тук,
е правоъгълен триъгълник и той е правоъгълен, защото
има ъгъл 90 градуса или има прав ъгъл в него.
Сега, наричаме най-дългата страна на правоъгълен триъгълник,
наричаме тази страна и може дори да я разглеждате,
като най-дългата страна на правоъгълния триъгълник или страната,
срещу 90-градусовия ъгъл, тя се нарича
хипотенузата. Това е много сложна дума за
горе-долу проста идея, просто най-дългата страна на правоъгълен
триъгълник или страната, срещу 90-градусовия ъгъл.
Просто е добре да го знаете, защото някои може да
каже хипотенузата и вие ще знаете, че говорят за тази страна тук,
страната, срещу 90-градусовия ъгъл. Сега, това което
искам да направя в това видео е да докажа една зависимост, много известна зависимост
и вие може би виждате на къде клоня, много известната връзка
между дължините на страните на правоъгълния триъгълник. Така че, нека кажем,
че дължината на АС, и така - главна буква А и главна буква С, нека означим
тази дължина с малката буква а, нека наречем дължината ВС с малка буква b ето тук.
Ще използвам големи букви за точките, малки букви за дължините.
И нека наречем дължината на хипотенузата, дължината на АВ,
нека наречем това с.
И нека видим дали можем да намерим зависимостта
между а, b и с.
И за да направим това, аз първо ще построя
друга права или друга част,
би трябвало да кажа, между с и хипотенузата.
И аз ще я построя така, че те
да се пресичат под прав ъгъл.
И вие винаги може да направите това.
И ние ще наречем тази точка тук,
ще наречем тази точка главно D.
И ако се чудите, кака можете винаги да правите това?
Можете да си представите, че завъртате целия този триъгълник ето така.
Това не е точно доказателство, но то един вид ви дава
основната идея за това, как може винаги
да построите дадена точка по този начин.
И така, ако съм го завъртял,
така че сега нашата хипотенуза, сега да стоим на нашата хипотенуза.
Това сега е точка В, това е точка А.
Така че, ние завъртаме цялото нещо изцяло.
Това е точка С. Можете да си представите само
хвърлянето на скала от точка С, може би с прикрепено въже
и тя ще удари хипотенузата под прав ъгъл.
Така че, това е всичко, което направихме тук , за да създадем отрез СD на мястото,
където поставяме нашата точка D ето там.
И причината, поради която направих това е, че сега
можем да направим всякакви видове интересни зависимости
между подобни триъгълници.
Защото имаме три триъгълника тук.
Имаме триъгълник АDC, имаме триъгълник DBC
и след това имаме големия първоначален триъгълник.
И ние можем, да се надяваме, да създадем подобие
между тези триъгълници.
И първо ще ви покажа, че ADC е подобен на големия.
Защото и двата имат прав ъгъл.
ADC има прав ъгъл ето тук.
Ясно е, че ако този ъгъл е 90 градуса,
тогава този ъгъл ще бъде също 90 градуса.
Те са допълващи се.
Те трябва да правят събрани заедно 180.
И така, те и двата имат прав ъгъл в тях.
По-малкият има прав ъгъл.
Големият очевидно има прав ъгъл.
Това е, от където започнахме.
И също те и двата споделят този ъгъл ето
тук, ъгъл DAC или BAC,
отнасяйте се към него, както желаете.
Така че, ние можем всъщност да напишем, че този триъгълник.
Ще започна с малкия, ADC.
И може би ще го щриховам надясно ето тук.
И така, това е триъгълника, за който говорим.
Триъгълник ADC.
И аз тръгвам от синия ъгъл към правия ъгъл,
до необозначения ъгъл от гледна точка на триъгълник ADC.
Този прав ъгъл не се отнася за това там.
Той се отнася за големия триъгълник.
Така че, можем да кажем, че триъгълник ADC е подобен на триъгълник -
още веднъж, искате да започнете от синия ъгъл.
А - След това отиваме до правия ъгъл.
Така че, трябва да отидем отново до правия ъгъл.
Така че, това беше ACB.
И понеже те са подобни, можем да установим
зависимост между съотношенията на техните страни.
Например знаем, че съотношенията на съответните страни
ще бъдат, ами като цяло за подобен триъгълник,
знаем, че съотношението на съответните страни
ще бъде постоянна величина.
Така че, можем да вземем съотношението на хипотенузата на по-малкия
триъгълник.
И така, хипотенузата е AC.
AC върху хипотенузата на по-големия, която
е АВ, AC върху АВ ще бъде същото нещо като AD,
едно от бедрата, AD.
И само да ви покажа, че просто вземам съответните точки
на двата подобни триъгълници, това е AD върху AC.
Можете да разгледате тези триъгълници сами и да покажете,
вижте, AD, точка AD е между синия ъгъл
и правия ъгъл.
Извинете, страна AD е между синия ъгъл и правия ъгъл.
Страна AC е между синия ъгъл и правия ъгъл
на по-големия триъгълник.
Така че, и двете от тях са от по-големия триъгълник.
Те са съответните страни на по-малкия триъгълник.
И ако това изглежда объркващо гледайки ги,
ако сме написали вярно твърдението за подобие,
можете просто да намерите съответните точки.
AC съответства на АВ от по-големия триъгълник,
AD от по-малкия триъгълник съответства
на AC от по-големия триъгълник.
И ние знаем, че AC, можем да напишем отново това като малка буква a.
AC е малката буква a.
Нямаме никакво означение за AD или за AB.
Извинете, имаме означение за AB.
Това ето тук е с.
Нямаме означение за AD.
И така, AD, нека просто наречем това с малката буква d.
Малката буква d съответства на тази част ето там.
с отговаря на тази цялата част ето там.
И след това ще наречем DB, нека наречем това дължина е.
Това просто ще направи за нас нещата малко по-прости.
И така, AD ще наречем просто d.
Така че имаме а върху с е равно на d върху а.
Ако умножим на кръст, имате а по а, което е а на квадрат,
е равно на c по d, което е cd.
Това е малко интересен резултат.
Нека видим какво можем да направим с другия триъгълник
ето тук.
И така, този триъгълник ето тук.
Още веднъж, той има прав ъгъл.
По-големия има прав ъгъл.
И те и двата споделят този ъгъл ето тук.
Така че, за ъгъли, подобие на ъгли, двата триъгълника
трябва да бъдат подобни.
Така че, можете да кажете при триъгълник BDC, ние се движим от розовия
към правия, към необозначения.
И така, триъгълник BDC е подобен на триъгълник...
Сега ще разгледаме по-големия триъгълник,
ще започнем от розовия ъгъл.
B. Сега трябва да отидем до правия ъгъл CA.
BCA.
От розовия ъгъл до правия ъгъл, към необозначения ъгъл,
поне от гледната точка тук.
Ние го означихме с това синьото преди.
Сега нека установим някакъв вид зависимост тук.
Можем да кажем, че съотношението в по-малкия триъгълник, BC, страна
BC върху BA, BC върху BA, още веднъж,
вземаме хипотенузите на двата.
Така че, BC върху BA ще бъде равно на BD.
Нека направя това в друг цвят.
BD.
И така, това е едно от бедрата.
BD.
По начина, по който съм го нарисувал е по-малкото бедро.
BD върху BC.
Просто вземам съответните върхове.
Върху BC.
И още веднъж, ние знаем, че BC е същото нещо като малката буква b.
BC е малката буква b.
BA е малката буква c.
И след това BD я определихме като малката буква e.
Това е малката буква e.
Можем да умножим на кръст тук и
получаваме b по b, което, и аз съм споменавал това в много клипове,
умножаването на кръст е буквално същото нещо като умножаването
на двете страни по и двата знаменателя.
b по b е b на квадрат, е равно на ce.
И сега можем да направим нещо в известен смисъл интересно.
Можем да съберем тези две твърдения.
Нека напиша отново твърдението тук отдолу.
И така b на квадрат е равно на ce.
Ако съберем страните от лявата страна,
получаваме a на квадрат плюс b на квадрат.
a на квадрат плюс b на квадрат, е равно на cd плюс ce.
Плюс ce.
И след това имаме c във всеки от тези членове,
така че можем да го изнесем отвън.
Това ще бъде равно на - можем да изнесем отпред това c.
Ще бъде равно на c, по d плюс e.
c по d плюс e и затваряме скобите.
Сега, колко е d плюс e?
d е тази дължина, а е тази дължина.
Така че, d плюс а всъщност ще бъде също така c.
Така че, това ще бъде c.
Така че, имате c по c, което е просто същото нещо
като c на квадрат.
Така че, сега имаме една интересна зависимост.
Имаме това a на квадрат плюс b на квадрат, е равно на c на квадрат.
Нека го напиша отново.
а на квадрат.
Нека просто го направя с произволен нов цвят.
Изтрих това без да искам, така че нека го напиша отново.
Ние току-що установихме, че а на квадрат плюс b на квадрат
е равно на c на квадрат.
И това е просто произволен правоъгълен триъгълник.
Това е вярно за всеки два правоъгълни триъгълника.
Ние просто установихме, че сумата от квадратите на всяко едно
от бедрата е равна на квадрата на хипотенузата.
И това вероятно е, безспорно е
една от най-известните теореми в математиката, наречена
на Питагор.
Не е ясно, дали той е първия човек, който е установил това,
но тя се нарича Питагоровата теорема.
Питагорова теорема.
И тя наистина е основата на, добре, не на цялата геометрия,
но на голяма част от геометрията, с която ще се занимаваме.
И тя формира основите също и на голяма част от тригонометрията, с която
ще се занимаваме.
И тя е наистина много полезен начин, ако
знаете две от страните на правоъгълния триъгълник,
винаги можете да намерите третата.