Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
В предишното видео, използвахме доказването чрез опровержение,
за да покажем, че корен квадратен от 2 е ирационално.
Това, което искам да направя в това видео, е по същество
да използвам същия аргумент, но да го направя в по-общ план
и да покажа, че квадратния корен от всяко едно просто число е ирационално.
Нека предположим, че p е просто число,
p е просто число.
Ще установим това с доказателство чрез опровержение.
Ще приемем, че корен квадратен от p
е рационално и ще видим, дали това ни води до някакво опровержение.
И така, ако нещо е рационално, това
означава, че можем да го представим като съотношение на две цели числа.
И ако можем да представим нещо,
като съотношение на две цели числа, това
означава, че можем също да го представим
като съотношение на де взаимно прости числа,
или две цели числа, които нямат общ множител.
Или можем да го представим, като дроб, която е неразложима.
Като дроб, която е неразложима.
И така, приемам, че тази дроб,
която пиша тук,
a/b, това тук е неразложима дроб.
Казвате, добре, как мога да направя това?
Ами, това да е рационално означава, че мога да представя квадратния корен
на p, като някаква дроб, като някакво съотношение на две цели числа.
И ако мога да представя нещо като съотношение на две цели числа,
мога да продължа да разделям и числителя, и знаменателя
на общи множители, докато евентуално
не получа неразложима дроб.
И така, приемам, че това е, до което сме достигнали.
Това не може да бъде съкратено.
И това е важно за доказателството - не може да бъде съкратено,
което е друг начин да кажем, че a и b са взаимно прости числа,
което е друг начин да кажем, че a и b не споделят общи
множители, различни от 1.
Нека видим, дали можем да преработим това малко.
Нека вземем квадрата от двете страни.
Получаваме p е равно на - добре, a/b, цялото нещо на квадрат,
това е същото нещо като a на квадрат върху b на квадрат,
a на квадрат върху b на квадрат.
Можем да умножим и двете страни по b на квадрат
и получаваме b на квадрат по p е равно на a на квадрат.
Добре, какво ни казва това за a на квадрат?
Ами, b е цяло число, така че b на квадрат трябва да бъде цяло число.
Цяло число по p е равно на a на квадрат.
Това означава, че p трябва да бъде множител на a на квадрат.
Нека запиша това.
a на квадрат е кратно на p.
Сега, какво ни казва това за a?
Означава ли това, че a трябва също да бъде кратно на p?
Ами, за да разберем това, нека помислим
върху разлагането на прости множители на a.
Нека кажем, че a може да бъде - и всяко едно число - може
да бъде написано отново, като произведение от прости числа.
Или всяко едно цяло число, би трябвало да кажа.
Така че, нека напишем това като произведение от прости числа
ето тук.
Нека кажем, че имам първия основен множител по
втория основен множител, всичко до n-тия множител.
Не знам всъщност, колко основни множителя има a.
Просто казвам, че a е някакво цяло число тук.
Това е разлагането на прости множители на a.
Какво ще бъде разлагането на прости множители на a на квадрат?
Ами, a на квадрат е просто a по a.
Неговото разлагане на прости множители ще бъде f1 по f2,
всичко до fn.
И после това, умножено по f1 по f2, по всичко до fn.
Мога да ги пренаредя, ако искам.
f1 по f1, по f2, по f2, всичко до fn по fn.
Сега, знаем че a на квадрат е кратно на p.
p е просто число, така че p трябва да бъде едно
от тези числа при разлагането на прости множители.
p може да бъде f2 или p може да бъде f1, но p
трябва да бъде едно от тези числа при разлагането.
p трябва да бъде един от тези множители.
Ако това е така, нека кажем - и аз просто ще
избера едно от тях произволно.
Нека кажем, че p е f2.
Ако p е f2, това означава, че p е също множител на a.
Това ни позволява да заключим, че a е кратно на p.
Или по друг начин казано, можем да представим
a като някакво цяло число, умножено по p.
Някакво цяло число по p.
Сега, защо това е интересно?
И всъщност, нека оградя това,
защото ще използваме тази част по-късно.
Но как можем да използваме това?
Ами, точно както направихме при доказването на корен квадратен от 2,
че е ирационално, нека сега заместим обратно
в това уравнение тук.
Получаваме b на квадрат по p.
Имаме b на квадрат по p е равно на a на квадрат.
Добре, a - сега казваме, че можем да представим
това като някакво цяло число k по p.
Така че, можем да напишем това отново, като някакво цяло число k по p,
по p.
Така че, нека да видим, ако умножим това.
Получаваме b на квадрат по p - и вероятно
виждате, на къде отиваме - е равно на k на квадрат
по p на квадрат.
Можем да разделим двете страни по p и
получаваме b на квадрат е равно на p по k на квадрат.
Или k на квадрат по p.
k на квадрат по p.
Същият аргумент, който използвахме,
ако a на квадрат е равно на b на квадрат по p, това ни показва,
че a на квадрат е a по p.
Сега го имаме по другия начин.
b на квадрат е равно на някакво цяло число на квадрат,
което все още ще бъде цяло число, умножено по p.
Така че, b на квадрат трябва да бъде кратно на p.
Това ни показва, че b на квадрат е кратно на p.
b на квадрат е кратно на p.
И по пътя на логиката, която приложихме
тук, това ни показва, че b е кратно на p.
b е кратно на p.
И това е опровержението или на това се основава
опровержението на това, което предположихме в началото.
Приехме, че a и b са взаимно прости числа,
че те не споделят общи множители, различни от 1.
Приехме, че това не може да бъде съкратено.
Но ние току-що установихме, само от това,
ние заключихме, че a е кратно на p
и b е кратно на p.
Което означава, че тази дроб може да бъде съкратена.
Можем да разделим числителя и знаменателя на p.
Така че, това е опровержението.
Започнахме, като приехме, че това не може да бъде съкратено,
но след това показахме, че то трябва да бъде съкратено.
Числителят и знаменателят
имат общ множител p.
Така че, установихме противоречие.
Корен квадратен от p не може да бъде рационално число.
Корен квадратен от p е ирационално.
Нека просто го запиша.
Корен квадратен от p е ирационално, поради
противоречието.