Tip:
Highlight text to annotate it
X
Това, което искам да направя в това видео,
е да намеря връзка
между лицето на триъгълник
и описаната около него окръжност
или описана окръжност.
Преди да разгледаме описаната окръжност,
нека просто разгледаме лицето на триъгълника.
Нека кажем, че триъгълника изглежда по следния начин.
Всъщност не искам да го правя да изглежда равнобедрен.
Нека го направя малко по-... -
така че, да не прилича на нито един определен вид триъгълник
и нека нарека този триъгълник ABC.
Това са върховете
и след това дължината на страната, срещу А e а,
b ето тук, и после c.
Знаем как да изчислим лицето на този триъгълник,
ако знаем неговата височина.
Ако пуснем височина ето тук
и ако тази височина има дължина h,
знаем, че лицето на [ABC],
- и ние пишем [ABC] със скоби около него,
означава лицето на триъгълника [ABC] -
е равно на 1/2 по основата, която е b,
по височината.
Ясно.
Имаме израз за лицето.
Да видим, дали можем по някакъв начин
да свържем някои от тези неща от лицето
с радиуса на описаната около триъгълника окръжност.
Описаната окръжност е окръжност,
която минава през всичките върхове на триъгълника
и всеки един триъгълник има описана около него окръжност.
Нека се опитам да я начертая.
Това е трудната част, точно ето тук,
така че, тя може да изглежда така.
Това е добре. Достатъчно близко е до окръжност.
Мисля, че добивате основна представа.
Това е описаната окръжност за този триъгълник
или описаната около този триъгълник окръжност.
Нека я означа.
Това е описаната окръжност за този триъгълник.
Сега нека помислим за центъра на тази описана окръжност,
понякога отнасяна като центъра на окръжността.
Изглежда, че той ще бъде,
не знам, просто го преценявам на око,
точно на това малко b тук.
И така, това е центъра на тази окръжност.
Нека начертая диаметъра на тази описана окръжност
и да начертая диаметър от връх B
през този център.
Така че, отиваме до там и просто продължаваме до тук.
Нека наречем тази точка там D.
Сега нека създадем триъгълник с върхове A, B и D.
Можем просто да начертаем друга права тук
и получаваме триъгълник ABD.
Сега, доказахме в клиповете по геометрия
- и това всъщност не е изобщо странно доказателство -
че всеки триъгълник, който е вписан в окръжност,
където една от страните на триъгълника
е диаметър на окръжността,
че това ще бъде правоъгълен триъгълник.
И ъгълът, който ще бъде 90 градуса
е ъгълът срещу диаметъра.
Така че, това тук е правоъгълен триъгълник.
Може да получите това много лесно.
Имате тази дъга тук, която е 180 градуса,
защото очевидно това е диаметър.
И тя се опира на този вписан ъгъл.
Доказахме също, че вписания ъгъл,
който се опира на дъгата,
ще бъде половината от дължината на дъгата.
Това е 180 градусова дъга.
Така че, това ще бъде 90 градусов ъгъл.
Така че, по всякакъв начин, това там ще бъде 90 градуса.
Другото нещо, което виждаме
е, че имаме тази дъга тук,
която чертая в лилаво,
дъгата, която отива от A до B.
Тази дъга се отговаря на два различни ъгъла в чертежа
- тя отговаря на този ъгъл тук, ъгъл ABC,
отговаря на това точно там -
но също отговаря и на ъгъл ADB.
Ето защо я построяваме по този начин.
И така, тя също отговаря на това.
Така че, тези два ъгъла ще бъдат сходни.
Те и двата имат половината от мярката на ъгъла
на тази дъга тук,
защото те и двата са вписани ъгли,
отговарящи на една и съща дъга.
Нещо интересно се появява.
Имаме два триъгълника тук,
имаме триъгълник ABD и триъгълник BEC.
Те имат по два ъгъла, които са подобни.
Имат прав ъгъл и този лилав ъгъл,
и техния трети ъгъл трябва да бъде един и същ.
Ще го направим с жълто.
Третият ъгъл трябва да бъде сходен на този ъгъл.
Те имат три еднакви ъгли.
Така че, трябва да бъдат подобни триъгълници
или съотношението между съответните страни,
трябва да бъде едно и също.
И така, можем да използваме тази информация сега,
за да свържем дължината на тази страна,
която е наистина диаметъра, и е два пъти радиуса,
с височината на този по-малкия триъгълник.
Знаем връзката
между височината на по-малкия триъгълник
и лицето,
и ние по същество сме на финалната права.
Нека направим това.
Това са два подобни триъгълника.
Знаем, че съотношението на c към този диаметър тук.
Каква е дължината на диаметъра?
Дължината на диаметъра е 2 по радиуса.
Това е радиуса.
Знаем, че съотношението, c към два пъти радиуса,
ще бъде точно същото нещо, като съотношението на h
- и ще искаме да се убедим, че използваме същата страна -
към хипотенузата на този триъгълник,
като съотношението на h към a.
И начина, по който намерихме това е
като погледнахме съответните страни.
c и хипотенузата са и двете страни,
съседни на този ъгъл ето тук.
Така че, имате h и a.
И така, c към 2r, е както и h към a.
Или, можем да направим много неща.
Първо, ще намерим h тук
и ще заместим в израза, който има лицето.
Всъщност нека просто направим това.
Ако използваме този първия израз за лицето.
Можем да умножим и двете страни по 2.
И да разделим и двете страни на b.
Това се унищожава с това.
Получаваме h е равно на 3 по лицето върху b.
Можем да напишем отново тази връзка, като c/2r е равно на h,
което е 2 по лицето на триъгълника, върху b.
И след това всичко това ще бъде върху a.
Или можем да напишем отново тази втората част тук,
като 2 по лицето, върху
- разделяме на b и след това разделяме на a,
това е същото нещо, като разделянето на ab.
Така че, можем да игнорираме това тук.
Имаме c/2r е равно на 2 по лицето върху ab.
И сега можем да умножим на кръст.
ab по c ще бъде равно на 2r по 2abc.
Това ще бъде 4r по лицето на триъгълника.
Аз просто умножавам на кръст -- това по това,
ще бъде равно на това по това.
Знаем, че кръстосаното умножение е просто
умножението на двете страни на уравнението по 2r
и умножението на двете страни на уравнението по ab.
И така, направихме това от лявата страна.
Направихме това също и от дясната страна.
2r и ab.
Очевидно, че това се унищожава с това, това се анулира с това.
Така че, получаваме abc е равно на 2r по 2abc.
Или 4r по лицето на триъгълника.
И сега сме на финалната права.
Разделяме двете страни на това на 4 по лицето
и сме готови.
Това се унищожава с това, това се анулира с това
и получаваме връзката.
Радиусът или можем да наречем това радиус на описаната окръжност.
Радиусът на описаната около този триъгълник окръжност,
е равен на произведението от страната на триъгълника,
делено на 4 пъти лицето на триъгълника.
Това е доста ясен резултат.