Tip:
Highlight text to annotate it
X
Миналия път научихме
какво представлява
очакваната стойност на дадена случайна променлива, и видяхме, че стойността
реално e популационната средна стойност- същото нещо e.
Но тъй като налице е случайна променлива, след като популацията е
безкрайна, не е възможно да се вземат всичките членове
и да се изчисли средната им стойност.
Това, което трябва да направим, е да кажем, добре, всеки от членовете се срещат
с някаква честота или с някаква вероятност, и един вид
просто вземаме даден вероятностно изчислен сбор.
Това, което видяхме миналия път, беше равносилно на
събиране на всичко в едно и разделяне на броя
числа, освен факта че този метод е ефективен с неопределено
число (много голямо) на дадена безкрайна популация, каквото е
случайната променлива.
Понеже можем да продължим да извършваме експеримента, който
поражда случайната променлива.
И тогава, фактически сме пресметнали очакваната стойност
на конкретните биномни разпределения, които с вас учихме,
най-вече примера с подхвърлянето на монетата.
В това видео ще изведем основна формула за средната стойност,
или всъщност, за очакваната стойност на дадено биномно
разпределение.
Така че ако кажем, че случайната променлива, х, е равна на
броя- можем
да ги наречем успехи.
Броят успехи, които имат вероятност р след n опита.
Така че в общи линии аз се намирам, тук.
Имам предвид това, че можеше да кажем "броя успешно хвърлени ези-та,
които имат вероятност 0,5 след 10 хвърляния.
Това е абсолютно същото, просто в момента говоря
в малко по-общи линии.
А сега всъщност ще намерим каква е
очакваната стойност тук.
И видяхме, че в случай на намиране на вероятностното
разпределение за тази случайна променлива, получаваме това хубаво
биномно разпределение, което малко прилича
на камбанка.
По-нататък ще разгледаме по-подробно този вид крива.
Но преди да ви я покажа,
ще ви дам отговора.
Понеже отговорът, до известна степен, е всъщност
повече от ясен.
Очакваната стойност на тази случайна променлива се изразява с произведението на n
и р, или понякога го записваме р, умножено по n.
Нека ви го изясня малко.
Та ако кажа, че х- нека използвам различен цвят.
Да видим, х е равно на броя кошове, които вкарам.
Където говоря за баскетбол, а не за плетене на кошници.
Броят кошове, които вкарвам след 10 хвърляния, като имам
вероятността да направя определен кош, е- колко да е- 40%.
Знаем този очакван брой кошове, които
вкарвам след 10 хвърляния.
Т.е. знаем, че очакваният брой кошове, които вкарам след
10 хвърляния, където всеки от кошовете ми е 40%- всичко, което трябва да направя,
е да умножа вероятността по броя
кошове, които вкарам.
Така че умножавам тази вероятност по броя кошове, или
броя хвърляния, които направя, който трябва да е равен на 4.
Така че знам, че казах- и в действителност не е толкова наложително
да разглеждаме очакваната стойност като броя хвърляния, които би трябвало
да се очаква да направим, защото понякога вероятностните
разпределения може да са някак странни.
Но биномното разпределение можем
да го разглеждаме по този начин.
Където това е броят хвърляния, които се очаква да направим.
Или можем да го разглеждаме като най-вероятния резултат.
Че ако имаме 40% хвърляния , и направим 10
от тях, най-вероятният резултат, който ще имаме, е 4 хвърляния.
Пак можем да направим 6 хвърляния или 3 хвърляния, но това ще е
резултатът с най-голяма вероятност.
Това, което си мисля, начина, по който разсъждавам, представлява
нещо разбираемо; това че всеки път, когато човек хвърля, има 40%
възможност ударът да е успешен.
Така че можем да кажем това всеки път когато успяваме в 40% от хвърлянията.
И ако вземем предвид 10 хвърляния, 4 от тях ще са успешни.
Така че това е един начин да помислим по въпроса, и затова защо случилото се може
да превизвика разбиране.
Но нека сега докажем това за себе си, факта че имаме наистина
дадена истина за която и да е случайна променлива, определена от
биномното разпределение.
Та в в едно биномно разпределение, какво представлява вероятността- ако
попитаме, примерно, каква е вероятността Х да е равно на k?
Знам, че понякога става малко сложно.
Но само питаме, какво казва вероятността
в тази аналогия с баскетбола.
Можем ли да знаем каква е вероятността да направя-
k би могло да е 3 хвърляния или нещо подобно.
Т.е. точно за това говорим.
Както и това, че научихме, че ако визираме n хвърляния, то
ще изберем k на брой от тях.
Това го направихме няколко пъти в последните клипове.
След това умножаваме това по вероятността за всяко едно
от тези конкретни събития.
И ако правя k на брой събития, ще имаме вероятността да направя
което и да е от хвърлянията, това е р на k-та степен.
p, умножено по себе си k пъти.
Това е вероятността аз да направя k хвърляния.
Тогава останалите хвърляния трябва да ги пропусна.
А вероятността за такъв пропуск се изразява чрез 1 минус р.
Тогава колко хвърляния ще има?
Ако съм направил k хвърляния, трябва да пропусна останалите от тях.
Така че ще пропусна n минус k хвърляния.
Един вид във всяко биномно разпределение, това е вероятността
да получим k успехи.
Сега знаем, че очакваната стойност, начинът по който пресмятаме
очаквана стойност на случайна променлива представлява
вероятностния пресметнат сбор.
Не искам да ви обърквам прекалено много, и ако усвоите
най-вече това в настоящия клип, то е достатъчно.
Би трябвало да се почувствате по-добре.
Сега ще преминем към малко технически означения, но да се надяваме, че
това ще ви накара да се почувствате малко по-удобно и със сигма, което е
символът за сума.
Ще ви стане малко по-удобно
с биномните коефициенти и подобните на тях елементи.
Но нека се върнем на това, което говорехме, очакваната стойност
представлява вероятностно определен сбор от всеки от тези елементи.
И това, което трябва да направим, е да приемем вероятността , че
Х е равно на k, умножим я по k, и прибавим полученото към
всяка от възможните стойности на k.
Та как ще запишем това?
Очакваната стойност на Х, очакваната стойност на случайната
променлива, която разглеждаме, представлява биномно разпределение-
то е равно
на сбора.
И ще съберем всички стойности, които може да заеме k.
Та k може да започне от 0- в баскетболния вариант, не правя никакви
хвърляния- по целия път към n, което означава, че правя n хвърляния.
И за всяко от тях искаме да умножим k , така че резултатът,
като съм извършил k хвърляния, умножавам по вероятността
да съм направил k хвърляния.
А каква беше вероятността да направя k хвърляния?
Тя беше това тук.
Така ще имаме k.n С k.p на степен k,умножено по 1
минус р на степен n минус k.
И сега само ще използваме малко знанията си по алгебра,
можем да я наречем сигма алгебра.
И първото опростяване, което можем да извършим, събираме
от k, равно на 0 на степен n.
Т.е. при първия член, тук ще имаме k, равно на 0.
Това в първия член ще е 0.
Така този първи член излиза да е 0, и тогава целия този израз ще е равен
на 0, и членът k, равен на 0 няма да се прибави към сбора,
защото целият този израз ще е равен на 0.
Нека напиша това, защото мисля, че то е - този сбор може
да се запише като 0, умножено по n С 0, умножено по р на степен 0, умножено по 1
минус р на степен n минус 0.
Плюс 1 умножено по n С 1, умножено по р на първа степен, умножено по
1 минус р на степен n минус 1.
И продължаваме да добавяме през цялото време до момента, в който
стигнем до факта, че k е равно на n.
Така че ще имаме n, умножено по n С n, умножено по р на n-та степен, умножено по
1 минус р, n минус n.
Това е друг начин за запис на този сбор тук горе.
И това, което тъкмо казах, първият член, това което е първият член,
ще е равно на 0, защото k е равно на 0.
0, умножено по каквото и да е, е равно на 0.
Така че можем да игнорираме този член и да препишем сбора
като този сбор
тук.
И ако направим това, ние по същество просто
преписваме това тук горе.
Така че очакваната стойност на нашата случайна променлива
е равна на сбора.
И не е нужно да тръгваме от k, равно на 0, сега бихме могли
да започнем при k, равно на 1.
От k, равно на 1 на n-та степен от същото нещо. k, умножено по n С
k, умножено по р на степен k, умножено по 1 минус р, n минус k.
Нека видим какво можем да направим от тук нататък.
Това, което направихме досега, е че се освободихме от този първи член, защото
това е един вид трика, който ще използваме, за да опростим накрая тук,
с цел резултата, който искаме да постигнем.
Така че нека напишем биномния коефициент и видим
дали можем да направим нещо тук.
О, погледнете това.
iPod-ът ми иска да синхронизира.
Нека премахнем тази функция.
Добре, сега, до къде бях стигнал?
Така, тогава това ще е равно на - ще препиша
биномния коефициент.
k е равно на 1 на n-та степен.
k, умножено по - това тук представлява n факториел върху k факториел
върху n минук k факториел.
Умножено по р на степен k по 1 минус р на степен n минус k.
И тук можем малко да опростим,
защото какво дава k, разделено на k факториел?
Може би бих го написал по различен начин. k факториел представлява k,
умножено по k минус 1, умножено по k минус 2, и т.н.
докато стигнем до 1.
Това представлява k факториел.
Така че k факториел може да се запише като k, умножено по k минус 1 факториел.
Имаме k, умножено по числото, по-малко с 1, умножено по
всички числа, по-малки от него.
Така че нека препиша.
И това може да се препише като k, умножено по k минус 1 факториел.
И конкретната причина, поради която направих това, е за да мога да съкратя
това k с онова k.
И ако съкратя това, мисля че тук пак се потвърждава преписването
на цялото това нещо.
И сега, предполагам, че можем да потвърдим опростеното, то е равно на
сбора от k равно на 1 на n-та степен от n факториел върху k
минус 1 факториел.
Умножено по n минус k факториел, по р на степен k по 1 минус
р на степен n минус k.
Нека направим още едно опростяване.
Така, това, което искам да направим, а и знаем
накъде сме се запътили, нали така?
Това ще се опрости до n, умножено по р.
Така че нека видим дали можем да разложим n по р, и тогава нека
видим дали можем да превърнем всичко друго в 1,
и ще сме готови.
Така че можем да препишем n факториел като използваме същия трик тук горе.
n факториел може да се препише като n, умножено по n минус 1 факториел
по същата логика.
И тогава р на степен k може да се препише като р, умножено по
р на степен k минус 1.
След което можем да разложим това n и това р и ще получим, че
е равно на np, умножено по сумата от k, равно на 1
на степен n от - нека видим.
Тези n и p ги разложихме.
n минус 1 факториел върху k минус 1 факториел, умножено по
n минус k факториел.
Умножено по р на степен k минус 1.
Това не е в знаменателя.
Това си е просто едно нормално - умножено по 1 минус р на степен n минус k.
Наближаваме края.
Да не забравяме, че търсим резултата за очакваната стойност на нашата
променлива, това, което вече правихме.
Че това ще е равно на това.
И ще сме готови, ако можем просто да покажем, че цялото това
нещо тук дава 1.
А за да направим това, ще направя едно опростяващо заместване.
Нека извърша заместването - какво да е - да кажем, че
а е равно на k минус 1.
А пък b е равно на n минус 1.
Тогава на какво ще е равно n минус k?
Нека видим.
Ако а е равно на k минус 1, тогава а плюс 1 е равно на k.
А тук, b плюс 1 е равно на n, от което следва, че n минус
k ще е равно на това, а плюс 1 минус това.
Минус b минус 1, тези ще се унищожат.
Което ще е равно на а минус b.
И нека видим дали тук можем да опростим.
Целият този сбор ще стане np, умножено по сумата
от - така, когато k е равно на 1, това означава същото -
когато k е равно на 1, на какво е равно а?
а е равно на 0.
От факта, че а е равно на 0 - сега, когато k е равно на n,
на какво ще е равно а?
Ако това е равно на n, ако k е n, тогава а е
равно на n минус 1.
И имаме а равно на а, равно на n минус 1.
Но n минус 1 напълно замества b.
Така че можем да препишем тази сума тук.
Това винаги е малко объркващо.
Може да ви се иска да спрем и да помислим малко по въпроса.
Но осъзнавам, че вече времето ми е към края си, така че
просто продължавам нататък.
Тук имахме, че b е равно на n минус 1.
Така че това ще е b факториел върху k минус 1, това
го дефинирахме като равно на а.
Това е същността на а факториел.
Сега да дойдем тук, n минус k ще е а -
о, знаете ли какво?
Тук обърнах нещата. n минус, добре, ще имаме b минус а.
n минус k - така.
n е b плюс 1, така че имаме b плюс 1 минус а плюс 1.
Минус а, минус 1.
Единиците се унищожават, и получаваме b минус а.
Така че n минус k ще стане b минус а факториел.
След което р на степен k минус 1 - k минус 1 е р на степен а.
И тогава умножаваме по 1 минус р на степен n минус k.
Вече показахме, че n минус k изцяло замества
b минус а.
И тогава тук, доста работа свършихме -
това тук колко прави?
Това е вероятността - всъщност нека препиша
това по по-прост начин.
Това е равно на np пъти по сумата от а, която е равна на 0 на степен b.
Какво дава това?
Това е b C a.
Имам b на брой неща и искам да избера а неща от тях,
по колко на брой различни начина мога - умножено по р на степен а по 1
минус р на степен b минус а.
Това тук какво е?
Това означава, че вземаме предвид всеки член от биномното
разпределение.
И всъщност търсим каква е вероятността
при а равно на 0.
Това е вероятността за всяко от тези а, нали така?
И сумираме всички а-та, които можем да достигнем.
И ако начертая едно набързо нахвърляно разпределение така,
ако а е равно на 0, налице е определена вероятност.
Тогава тази вероятност за а е равна на 1. Следва друга
вероятност, която отива по-далеч.
И се получава нещо като крива, подобна на камбана, нещо такова.
Този член тук представлява всеки от тези членове.
Всяка от тези кутийки можем да кажем, че представлява
един от тези членове.
Когато а е равно на 0 имаме този член.
Когато а е равно на 1, членът е този.
Когато а е равно на 2, имаме този член, докато стигнем до b-членовете.
Но ние ги сумираме, което означава, че сумираме всички
вероятности.
Сумираме всички стойности, които може да заеме нашата
случайна променлива.
Така че ако сме намерили всички вероятности, които една
случайна променлива може да има, или сумираме всички стойности,
това ще се сумира към стойност 1.
Това е все едно да кажем, че е налице вероятността да се паднат страни ези
плюс вероятността да се паднат страни тура.
Или можем да кажем при аналогията за хвърляне на монета,
че това представлява вероятността да ми се падне едно ези плюс
вероятността да ми се паднат две страни ези, плюс вероятността за 3 страни
ези, плюс вероятността за 4 страни ези, и т.н.
докато стигнем до b на брой страни ези.
Така че много е вероятно да се случат всякакви обстоятелства.
Това представлява сумата върху цялото вероятностно
разпределение, така че това ще е равно на 1.
И остана ни очакваната стойност на нашата
случайна променлива, Х, равна на n, умножено по р.
Където n е броят опити, а р е вероятността
за успех при всеки опит.
А това е вярно само при биномните разпределения.
Не е вярно за всяка случайна променлива, Х.
Вярно е само за случайната променлива Х, чието вероятностно
разпределение представлява биномно разпределение.
Както и да е,
времето ми привършва.
Ще се видим следващия път.