Tip:
Highlight text to annotate it
X
В този клип ще опознаем идеята за 'граница', която ще е супер важна за напред.
Всъщност много от висшата математика се базира на нея.
Но въпреки голяма си важност, идеята е и наистина доста лесна.
Така, нека начертая функция тук -- всъщност, нека дефинирам функция тук.
Сравнително проста функция. нека f(x) ... значи f(x) ще бъде (x-1)/(x-1)
Сега може да си помослиш: "Ама тук имаме едно и също нещо в числителя и знаменателя.
Ако разделя нещо на същото нещо, това е просто единица! Защо не запишем просто f(x)=1?"
Бих отговорил: това е почти напълно вярно. Разликата между f(x)=1 и това нещо тук е,
че този израз не е дефиниран при x=1 . Значи, ако вземем -- нека го запиша тук -- ако вземем
f(1) , какво се случва? В числителя получаваме (1-1) , което е ... нека само да го запиша ...
в числителя получаваме 0, а в знаменателя получаваме (1-1) , което също е 0. Но всяко нещо разделено на 0,
включително 0/0 е недефинирано. Значи можем да опростим -- можем да кажем, че това е
същото като f(x)=1 , но трябва да добавим едно ограничение: x не може да е равно на 1. Сега вече
това и това са еквивалентни. И двете ще са равни на 1 за всяко x без 1. Но при x=1 ,
изразът не е дефиниран. И двата израза не се дефинирани. Как трябва да начертая тази функция?
Нека я начртая ... това е оста y=f(x) , а това остава да бъде оста x , а нека кажем и, че
това е точката x=1 , а това тук би било x=-1 ; това е y=1 , точно тук горе, а мога да запиша и -1 , но това
не помага много за тази фунция ето тук; нека я начертая. Значи това всъщност е за
всяко x освен 1, f(x)=1 . Ще изглежда ето така ... освен при 1. При 1, f(x) е недефинирано, така че
ще поставя малка дупка точно ето тук, това кръгче, за да покажа, че тази фукнция
е неопределена -- не можем да знаем стойнастта на функцията при 1, понеже не сме я дефинирали.
Тази дефиниция на функцията не ни казва какво да правим при 1 -- функцията просто няма стойност при x=1
Значи ето това тук е функцията и, отново, ако някой попита на какво е равно f(1) , ние просто ще ...
ами нека кажем, като знаем дефиницията на функцията, за x=1 имаме дупка във функцията.
Ето тук, тя е неопределена. Та нека запиша отново ... повтарям се, но все пак ще запиша.
f(1) е неопределенп. Но как бихме отговорили, ако ни питаха за стойността на функцията близо
до x=1 ? Сега вече ще използваме идеята за граници. Значи, ако x се приближава все повече към 1 ...
към каква стойност се приближава функцията? Значи, при това движение, до коя стойност сме най-близо?
От ляво, без значение колко сме далеч, стига да не сме бърху x=1 , f(x)=1 .
И тук, от дясно, се получава същото нещо. Значи можем да кажем, че ... и тази идея
ще става все по-смислена докато трупаме примери ... че границата докато
x (и lim , с което ще обозначаваме границите), докато x се приближава км 1, f(x) е равно на ...
А тук ни е позволено да се приближим колкото си искаме до 1, стига да не сме на 1 ...
И функцията ни ще бъде равна на 1, докато се приближаваме към 1,
тя е равна на 1 през цялото това време. Значи в този случай казваме, че границата докато x се приближава към 1 за f(x)
е 1. И пак: с целия този сложен израз казваме просто: "Към какво се приближава функцията,
когато x се приближава към 1?"
Нека направя друг пример, но този път с крива навместо с права, за да придобием малко повече интуиция.
Нека започна с функция f(x) -- но в този случай, за разнообразие, ще я нарека g(x) .
Да кажем, че g(x) ще е равна на -- просто така ще е я дефинирам -- ще бъде x^2 (x квадрат),
когато x не е равно на 2. И да кажем, че ако x=2 , тогава стойноста на функцията е 1. Значи отново имаме малко странна
функция, която, както ще видим, е прекъсната в дадена точка. Нека я начертая.
Значи това е оста ми y=f(x) , а това оста x ето точно тук. Да кажем, че това е x=1 , това е x=2,
това е -1, това е -2 ... Така навсякъде освен при x=2 , това е равно на x-квадрат. Значи нека го начертая така:
това ще бъде парабола; изглежда горе-долу така ... ще изглежда нещо подобно ...
Нека начертая по-добра версия на параболата. Така се получава ето по този начин; не е най-красивата
възможно парабола в историята на чертежите, но за сега ще ни свърши добра работа, за да предадем
основната идея, надявам се. Трябва да е симитрична ... Нека я начертая отново, защото сега май е твърде грозна.
Ето това вече изглежда по-добре. Така, готово! Добре.
Така се чертае x² , но не тряба да бъде x² , когато x=2 . Отново: когато x=2 ,
имаме малко прекъсване тук; значи ще обознача дупката ето тук,
защото, когато x=2 , функцията ни е равна на 1.
Не спазвам скалата много добре ... в чертежа на f(x)=x² това трябва да е 4, а това би било 2,
това би било 1, а това биб ило 3. Значи, при x=2 , функцията ни е равна на 1.
Функцията ни може и да изглежда малко странно, но ние така си я дефинираме; можем да дефинираме нова функция
както си пожелаем! Значи, нека забележим, че това е точно като чертежа на f(x)=x² , освен когато сме върху 2,
защото там е дупката ни. Значи g(x)=x² , освен ако x=2 , където използваме g(x)=1 .
Май нарекох функцията f(x) няколко пъти. Извинявам се.
Използваме g(x)=1 , значи точно на 2 падаме до 1, а след това продължаваме по x² .
Значи има едно-две важни неща. Ако само изчислявахме функцията - g(2) ,
тогава гледаме тази дефиниция. Добре, когато x=2 , минавам на тази ситуация ето тук,
при която определението ми дава 1. Но нека задам по-интересен въпрос, като например следното:
Каква е границата, когато x се приближава към 2 за g(x) ? Отново описвам ситуацията по специален начин,
но смисълът е наистина доста прост. Нещо от рода на "когато x се приближава все повече към 2...
докато се приближаваме повече, макар и това да не е много научно определение, защото го оставяме за друго видео -
докато x се приближава към 2, към какво се приближава g(x)? Значи ако минаваме през 1,9, после 1,999 и след това през 1,999999,
че дори и 1,9999999, към какво се приближава g(x)? Ако идваме откъм по-големите числа,
например откъм 2,1, на колко е равно g(2,1)? Колко е g(2,01)? Какво е g(2,001)?
Към какво се приближава това докато наближаваме двойката?
За да видиш отговора е достатъчно да направиш чертежа. Докато g се приближава все повече към 2 ...
И ако следвахме графиката, виждаме, че се приближаваме към 4,
макар това да не е истинската стойност на функцията -- функцията пада до 1 -- границата на g(x) , когато
x се приближава към 2 е равна на 4. Можем да видим същото действие и чрез калкулатор.
Та нека го направя, защото мисля, че ще бъде интересно. Нека извадя калкулатор ...
Този стар модел, между другото, се казва ТИ-85 ... Ето ми я елката ... И сега можем да изразим чрез цифри:
добре, към какво се приближава функцията, когато вървим към x=2 ? Нека опитаме 1,9. При x=1,9, можеш да
ползваш това тук горе. Значи имаш 1,9², което дава 3,61.
Ами ако минем дори по-близо до 2? Значи, 1,99; и отново, нека намерим квадрата:
Сега съм на 3,96. А какво ще стане, ако взема квадрата на 1,999?
Ще бъде 3,996. Забелязваш ли, че се приближавам все повече към нашата точка на графиката?
Ами ако реша да мина наистина близо, примерно 1,999999999999²? Отговорът няма да е
точно 4 -- този калкулатор просто закръгля числата, защото вече сме наистина, ама наистина,
много близо до 4. Можем да направим нещо подобно и откъм положителната посока също, а отговорът
трябва да бъде същото число, както когато се приближаваме отдолу. Ще получим същия отговор
както когато се приближаваме отгоре. Значи, ако опитаме 2,1², получаваме 4,4 ...
Нека прескоча няколко стъпки напред ...
2,0001². Това е доста по-близо до 2. Което ни дава стойност на функцията много по-близо до 4.
Значи, колкото по-близо сме до 2, толкова по близо идва функцията до 4.
И отново: това е просто цифров подход към разбирането на границата, когато x се приближава към 2 от която и да е посока
за g(x) -- макар точно при 2 функцията да е равна на 1, заради начина, по който я определихме --
границата, когато се приближаваме към 2 си остава числото 4.