Tip:
Highlight text to annotate it
X
Нека решим няколко модулни уравнения.
Нека първо си припомним
какво означава модул, или абсолютна стойност.
Да вземем абсолютната стойност на -1.
Абсолютната стойност означава
на какво разстояние е числото от 0.
В случая с -1, нека го отбележим на числовата ос.
Това е една много грозна числова ос.
На числовата ос, нула е ето тук.
Тук е -1.
-1 и 0 са на разстояние 1.
Значи абсолютната стойност на -1 е 1.
Абсолютната стойност на 1 е също на разстояние 1 от 0.
Тя също е 1.
От една страна, абсолютната стойност е разстоянието на числото от 0.
От друга, по-лесен начин да мислим за нея,
е че модулът е винаги същата цифра, но с положителен знак.
Абсолютната стойност на -7346 е 7346.
Предвид това, нека се опитаме
да решим няколко модулни уравнения.
Имаме следното уравнение:
абсолютната стойност на х - 5 е 10.
От една страна,
обърнете внимание, това всъщност значи,
че разстоянието между х - 5 е 10.
Колко числа има, които са на разстояние точно 10 единици от 5?
Сигурно се досещате какво е решението на уравнението,
но нека го решим систематично.
Това твърдение е вярно в два случая.
Първи случай, х - 5 е равно на +10.
В този случай,
когато вземем абсолютната му стойност,
ще получим +10.
Втори случай, х - 5 е равно на -10.
Ако х - 5 е равно на -10, ако вземем абсолютната му стойност,
ще получим отново 10.
Така че, х - 5 може да е също равно на -10.
И двете удовлетворяват уравнението.
За да решим това,
нека прибавим 5 към двете страни на уравнението.
Получаваме х равно на 15.
За да решим това, нека добавим 5 към двете страни на това уравнение.
х е равно на -5.
Решението е,
има две х, които удовлетворяват уравнението,
х може да е 15.
15 - 5 е 10; по абсолютна стойност
получаваме 10, или х е равно на -5.
-5 минус 5 е -10.
Взимаме модул от -10 и получаваме 10.
Забележете, и двете числа
са на точно 10 единици разстояние от 5.
Нека решим още едно модулно.
Нека решим още едно уравнение.
Нека имаме следното:
модул от х + 2 е равно на 6.
Какво означава това?
Означава, че х + 2,
изразът вътре в модула, е равен на 6.
Или, изразът в модула,
х + 2, може да е -6.
Ако х + 2 е равно на -6,
взимаме абсолютната му стойност и получаваме 6.
Или, х + 2 е равно на -6.
Ако извадим 2 от двете страни на уравнението,
получавме х равно на 4.
Ако извадим 2 от двете страни на другото уравнение,
получаваме х равно на -8.
Това са двете решения на уравнението.
И за да затвърдим,
можем да приемем абсолютната стойност, като разстояние.
Можем да запишем уравнението
като модул от х минус -2 е равно на 6.
В този случай търсим
какви са стойностите на х, които са на разстояние 6 от -2?
Ето тук попитахме:
какви са х, които са на разстояние 10 от +5?
Каквото и число да вадим от +5,
и двете са на разстояние 10 от +5.
В този случай питаме
кое число е на разстояние 6 от -2?
Отговорът е или 4, или -8.
Можете да направите проверка с тези числа.
Нека решим още едно уравнение.
Нека решим още едно, този път в лилаво.
Имаме модул от 4х.
Ще променя малко условието.
4х - 1.
Абсолютната стойност на 4х - 1 е равна на,
всъщност, нека е равна на 19.
Както при последните няколко задачи,
4х - 1 може да бъде равно на 19.
Или 4х - 1 може да е -19.
Когато вземем абсолютната стойност,
ще получим отново 19.
Или 4х - 1 може да е равно на -19.
Остава само да решим тези две уравнения.
Прибавяме 1 към двете страни на уравнението,
дори може да го направим едновременно и за двете.
Прибавяме 1 към двете страни на това, получаваме 4х равно на 20.
Прибавяме 1 към двете страни на другото уравнение,
получаваме 4х равно на -18.
Делим двете страни на уравнението на 4 и получаваме х равно на 5.
Делим двете страни на другото уравнение на 4 и получаваме х равно на -18/4,
което е равно на -9/2.
И двете стойности на х удовлетворяват уравнението.
Да ги проверим.
-9/2 х 4.
Това е равно на -18.
-18 минус 1 е -19.
Взимаме абсолютната стойност и получаваме 19.
Заместваме х с 5 - 4 по 5 е 20.
Минус 1, и получаваме +19.
Взимаме абсолютната му стойност.
И получаваме, отново, 19.
Нека, за по-забавно, да начертаем графиката на едно от уравненията.
Да вземем следното:
имаме у, равно на абсолютната стойност на х + 3.
Това е функция, или графика,
която съдържа абсолютна стойност.
Да помислим за двата случая.
В единия случай,
изразът в модула е положителен.
Това е случаят, в който х +3
Ще го запиша тук: х + 3 е по-голямо от 0.
В другия случай имаме х + 3 < 0.
Когато х + 3 > 0,
тази графика, предполагам можем да я наречем линия,
тази функция е една и съща с у = х + 3.
Ако това нещо тук е > 0,
то можем да пренебрегнем знака на модула.
Тогава това нещо
е същото като у равно на х + 3.
Но кога х + 3 > 0?
Ако извадим 3 от двет страни,
ще получим х > -3.
Когато х > -3,
графиката ще изглежда, както тази на у равно на х + 3.
Да видим другия случай, х + 3 < 0.
В този случай,
изразът в модула ни е отрицателен.
Като разкрием модула, уравнението ще бъде
у равно на отрицателната стойност на х +3
Как разбираме това?
Ако това нещо е отрицателно число,
ако х плюс 3 е отрицателно число - това допускаме -
ако е отрицателно число,
тогава когато вземем абсолютната стойност на отрицателното число,
ние го превръщаме в положително.
Все едно умножаваме по минус 1.
Ако взимаме абсолютната стойност на отрицателно число,
това е все едно го умножаваме по минус 1,
защото го превръщаме в положително.
Това е случаят, в който
х + 3 е по-малко от 0.
Ако извадим 3 от двете страни,
получаваме х < -3.
Когато х е по-малко от минус 3,
графиката изглежда така.
Когато х е по-голямо от минус 3,
графиката изглежда така.
Нека разгледаме как ще изглежда
цялата графика.
Да нарисуваме координатната ос.
Това е оста х, а това - оста у.
Нека разкрием скобите, за да приведем във вид
mx + b.
Това е равно на минус х минус 3.
Да видим как би изглеждала тази графика
принципно.
Минус х минус 3.
Пресечната точка на графиката с оста у е -3.
Отрицателно х означава, че графиката намалява,
има наклон 1.
Ще изглежда ето така.
Пресечната точка с х ще е при какво х?
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на -3.
Ако у е равно на 0, това ще стане при х равно на -3.
Така че ще премине през тази линия,
през точно тази точка.
А графиката, ако нямахме това условие,
щеше да изглежда така.
Щеше да изглежда така, ако не беше ограничена
в интервал по оста х.
Как ще изглежда тази графика?
Да видим.
Пресечната точка с оста у е плюс 3.
Просто така.
Къде е пресечната точка с оста х?
Когато у е равно на 0, х е минус 3.
Значи също минава през тази точка
и има наклон 1.
Така че ще изглежда ето така.
Така изглежда графиката.
Разбрахме, че функцията на на абсолютната стойност
изглежда като тази лилава графика,
когато х е по-малко от минус 3.
Когато х е по-малко от минус 3,
х е равно на -3 тук, когато х е по-малко от минус 3,
изглежда като тази лилава графика.
Точно тук.
Това е случаят, в който х е по-малко от -3.
Но когато х е по-голямо от -3,
изглежда като зелената графика.
Изглежда точно така.
Значи, графиката изглежда като странно V.
Когато х е по-голямо от -3, това е положително.
Имаме графика с положителен наклон.
Но когато х е по-малко от минус 3,
взимаме отрицателната част на функцията,
имаме отрицателен наклон.
Имаме V-образна функция,
V-образна графика, която е бележи
функция на модул.