Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
В последното видео дадохме доказателство
за това, защо 3 на степен минус 2,
трябва да бъде еквивалентно на 1 върху 3 на степен плюс 2.
Сега искам да направя много подобно доказателство,
но искам да го направя с обща основа и общи степени.
В частност, искам да помислим за това, колко
е a на степен b или в частност,
на колко ще бъде равно a на степен минус b.
Знаем, че искаме да се придържаме към свойството,
че ако имаме основата, повдигната на степен
и после това е умножено по тази същата основа, повдигната
на друга степен, че просто ще
съберем двете степени.
Само, за да бъда ясен, искаме да потвърдим това свойство,
че a на степен b, по a на степен минус b,
ще бъде равно на a на степен b плюс -b,
което разбира се ще бъде
равно на a на нулева степен.
И докато a не е равно на 0,
това трябва да бъде равно на 1.
Нека напиша това - за a не е равно на 0.
И така, като цяло - всъщност просто ще копирам това - a
на степен b, по a на степен минус b - копирам
и поставям - трябва да бъде равно на 1.
Това тук, трябва да бъде равно на 1.
Ако искаме да помислим, на какво е равно a на степен
минус b?
Просто разделяме двете страни на a на степен b.
И ще получим a на степен минус b.
а на степен минус b.
Запазих цветовете верни до сега.
Трябва да продължа.
a на степен минус b, е равно на 1 върху a на степен b,
е 1 върху a на степен b.
Така че, просто искам да прегледам това.
И наистина е важно да го помним,
защото, когато видите нещо като основа
на отрицателна степен, съществува изкушението
по някакъв начин да въведем отрицателно число.
Но отрицателната степен е всъщност
вземане на реципрочното.
Вземате реципрочното на това число, повдигнато
на положителна основа.
И ние току-що показахме доказателството,
че ако искаме това свойство да бъде вярно -
и много от свойствата на степените
са просто за запазване на последователността, продължаване
на старите свойства да бъдат верни, когато въвеждаме
нови определения и нови свойства -
и ние виждаме, че ако искаме това да бъде вярно,
тогава a на степен минус b, трябва да бъде 1 върху a на степен b.
В други клипове ще покажем други обосновки
за това, защо отрицателната степен е по същество определена по този начин.
Но сега, за да видим, че това е вярно,
за всяко не нулево a и всяко b, нека
всъщност направим няколко примера.
И всъщност, нека помислим за размера на тези числа.
Например - и нека въведа нови цветове
ето тук.
Ако бях взел 5...
Казах, че ще използвам нови цветове,
но не го направих - ако трябваше да отнеса 5 на трета степен,
знаем, че това е 5 по 5, по 5.
Това е равно на 125.
Това е логично голямо число.
Сега, колко трябва да бъде 5 на степен минус 3?
И аз ви препоръчвам да спрете на пауза видеото
и да помислите за това преди да ви кажа.
Използвате това, което ви казах.
Колко ще бъде 5 на степен минус 3?
Добре, приемам, че сте спрели видеото на пауза.
Това ще бъде равно на 1 върху 5
на степен плюс 3, което е равно на 1/125.
И така, това е наистина интересно.
5 на трета беше логично голямо число.
Докато 5 на минус 3, не беше отрицателно число.
То все още е положително, но е много малко число.
То е 1/125.
Нека направим още два примера.
Нека кажем, че вземам минус 1/2
и трябваше да повдигна това на трета степен.
Колко ще бъде това?
Ами, това е минус 1/2 по минус 1/2, по
минус 1/2, което е, разбира се,
ще бъде равно на минус 1/8,
минус 1/8.
Сега, колко трябва да бъде минус 1/2 на минус трета степен,
основавайки се на всичко, за което говорихме току-що?
Още веднъж, препоръчвам ви да спрете на пауза това видео
и да помислите за това.
Ами, то трябва да бъде равно на 1 върху минус 1/2
на степен плюс 3.
Добре, току-що намерихме колко е това.
Минус 1/2 на степен плюс 3 е минус 1/8.
Това нещо ето тук трябва да бъде равно
на минус 1/8.
Така че, то ще бъде равно на 1 върху минус 1/8.
И на какво е равно това?
Ами това е равно на 1 по реципрочното
на този знаменател тук.
И така, 1 по минус 8/1, което
ще бъде равно на минус 8.
И така, това е интересно.
Обикновено, когато вземете число, чиято абсолютна стойност е
по-малка от 1 и го отнасяте към по-големи, и по-големи степени,
се получава по-малко, и по-малко, и по-малко число.
Когато умножавате или с плюс или с минус 1/2 по
1/2, по 1/2, неговата величина, неговата абсолютна стойност,
обикновено ще става по-малка и по-малка, и по-малка.
Но сега, когато го повдигате на отрицателна степен,
неговата абсолютна стойност става по-голяма и по-голяма, и по-голяма.
И това е, защото, още веднъж, вземате реципрочното.
Важното нещо, което искам да подчертая тук
е, че не трябва да разглеждате този минус като такъв,
когато мислите за отрицателно умножение.
Забележете, този минус не променя
знака на това, което е окончателната стойност.
Получавате минус 1/8.
Получихте минус 8.
Това, което направи е, че промени величината.
Така че, това е минус 1/8.
Когато го отнесете на минус трета степен,
вземате реципрочното на това, което е минус 8.