Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Това, което искам да направя в това видео, е да ви докажа,
че корен квадратен от 2 е ирационално число.
И аз ще направя това с доказване чрез опровергаване.
А доказването чрез опровергаване се основава
на приемане на противоположното.
Така че, това е целта ни, но за нуждите на доказателството,
нека приемем обратното.
Нека приемем, че корен квадратен от 2 е рационално число.
И след това ще видим, че ако това ни доведе до противоположното,
това действително не може да бъде случая.
И ако това не може да бъде случая да е рационално,
ако достигнем до опровержение на предположението, че корен квадратен от 2
е рационално, тогава трябва да заключим, че корен квадратен
от 2 трябва да бъде ирационално.
И така, нека приемем обратното.
Корен квадратен от 2 е рационално число.
Добре, ако корен квадратен от 2 е рационално,
това означава, че можем да напишем корен квадратен от 2
като съотношение на две цели числа, a и b.
Можем също да приемем, че те
нямат общ множител.
Нека кажем, че те имат някакъв общ множител.
Ако разделим числителя и знаменателя
на този еднакъв множител, тогава попадате в ситуация,
където нямат общ множител.
Или друг начин да го кажем е, че a и b са взаимно прости числа.
Или друг начин да го кажем е,
че можем да напишем това като съотношение на две прости числа,
където това не може да бъде съкратено, където тези вече не споделят
никакви множители.
Ако можете да напишете нещо като съотношение на две прости числа,
тогава очевидно можете да го опростите още,
да изнесете някакви общи множители, за да го отнесете до точката,
където то няма да може да бъде съкратено.
Така че, аз ще предположа, че a и b,
че тази дроб тук, е неразложима.
Това е важно, за установяването на противоположното.
Аз ще предположа, че това тук не може да бъде съкратено.
Неразложимо,
че a и b нямат никакви общи множители.
Нека напиша това отдолу, защото е
много важно за това доказателство.
a и - искам да използвам този същия цвят -
a и b нямат общи множители, различни от, предполагам, 1.
Никакви общи множители, различни от 1.
Така че, това не може да бъде съкратено.
Тези две числа са взаимно прости числа.
И така, какво означава това за нас?
Ами, нека просто се опитаме да преработим това малко.
Нека повдигнем на квадрат и двете страни на това уравнение.
Ако повдигнете на квадрат главния корен от 2,
ще получите 2.
И това ще бъде равно на a на квадрат върху b на квадрат.
а на квадрат, върху b на квадрат.
Това идва просто от a върху b на квадрат
и е същото нещо като a на квадрат върху b на квадрат.
Сега можем да умножим и двете страни на това по b на квадрат.
Получаваме 2 по b на квадрат е равно на a на квадрат.
Сега, какво ни казва това за a на квадрат?
Ами, a на квадрат е някакво число, b на квадрат по 2.
Нещо по 2 ще бъде - това ще бъде цяло число.
Приехме, че b е цяло число, така че b на квадрат трябва да бъде цяло число,
така че имате цяло число по 2.
Добре, това трябва да ви даде четно число.
Това трябва да ви дава четно цяло число.
Така че, това тук, a на квадрат,
трябва да бъде - това ни казва, че a на квадрат трябва да бъде четно.
Сега, защо това е интересно?
Ами, a на квадрат е произведението от две числа
или произведението от еднакви числа.
То е a по a.
Това е друг начин да кажем, че a по a е четно число.
Какво ни казва това за a?
Нека просто си припомним.
a или ще бъде - приемаме,
че a е цяло число - a ще бъде или четно, или нечетно.
Просто трябва да си припомним, че ако умножим
четно по четно, получаваме четно число.
Ако умножим нечетно по нечетно, получаваме нечетно число.
Имаме числото, умножено по него самото.
Получаваме четно число.
Добре, единствения начин да получим това, е ако това число е четно.
Така че, това ни показва, че a е четно.
Друг начин да кажем, че a е четно,
е да кажем, че a може да бъде представено
като произведението от 2 по някакво цяло число.
Нека кажем някакво цяло число k.
На къде отива всичко това?
Ами, както ще видите, тогава можем да използваме
това, за да покажем, че b трябва също да бъде четно.
Нека помислим малко върху това.
Нека се върнем обратно към тази стъпка тук.
Ако кажем, че a може да бъде представено
като два пъти произведението на някакво цяло число
и това идва от факта, че a е четно.
Тогава можем да напишем отново този израз тук
като 2 - ще го направя тук - 2 по
b на квадрат е равно на 2k на квадрат.
Вместо a на квадрат, мога да напиша 2k на квадрат.
Ние претендираме или ние заключваме,
че, приемайки всичко, което предположихме, че a е четно число.
Ако a е четно, то може да бъде представено
като произведение от 2 и някакво цяло число.
И тогава можем да напишем, че 2 по b на квадрат
е равно на 4k на квадрат.
4k на квадрат.
След това разделяте двете страни на 2.
Получавате b на квадрат е равно на 2k на квадрат,
е равно на 2k на квадрат.
И това ни казва, че k на квадрат
ще бъде цяло число.
Вземате което и да е цяло число по 2 и
ще получите четна сума.
Така че, това ни казва, че b на квадрат е четно.
b на квадрат е четно.
Това ни казва, че b на квадрат е четно число.
Добре, ако b на квадрат е четно, по същата логика, която току-що използвахме,
това ни казва, че b е четно число,
b е четно число.
Ето го нашето опровержение.
Приехме в началото , че a и b
нямат общи множители, различни от 1.
Приехме, че тази дроб тук, a/b
не може да бъде съкратена.
Но от тава и от факта, че a/b
трябва да бъде равно на корен квадратен от 2,
бяхме в състояние да заключим, че a е четно и b е четно число.
Ами, ако a е четно и b е четно,
и те и двете имат 2 като множител,
тогава това не е неразложимо.
Можете да разделите числителя и знаменателя на 2.
a и b имат общ множител 2.
И така, нека запиша това отдолу.
Това е просто, за да го изясня.
От това и това, имаме a и b имат общ множител 2,
което означава, че a върху b е съкратимо.
Така че, това е опровержението.
Това е опровержението.
Приемате, че квадратния корен от 2
може да бъде представен като съкратима дроб a/b,
съкратима, защото можете да кажете, че съотношението на две цели числа
тук, това ви отвежда до опровержението
на това, не, то всъщност не може да бъде съкратимо.
Ето защо, не може да направите това предположение.
То ви води до опровержение.
Корен квадратен от 2 трябва да бъде ирационално число.