Tip:
Highlight text to annotate it
X
-
Да видим дали можем да научим и по нещо за разширението на
частични дроби, или както още се нарича,
разлагане на дроби
-
Идеята е да вземем рационални функции (като
рационална функция е просто функция,
където един израз е разделен на друг)
и да ги разширим или разложим на по-прости части
И първото, кето трябва да направим, дори преди
да започнем процеса на разширение на частични дроби,
е да сме сигурни, че числителят е от по-ниска степен
от знаменателя
В тази ситуация – в задачата, която съм написал тук,
това не е така
Числителят и знаменателят са от една и съща степен
Значи, първата ни стъпка е да достигнем
числител с по-малка степен
от знаменателя с малко
алгебрична дивизия
Имам клип за това, но никога не е в повече да
преговорим малко. За да направим това, делим знаменателя
да числителя, за да видим какво остава. Значи, делим
x на квадрат минус 3x минус 40 на x на квадрат минус 2x минус 37
Значи, какво получаваме ?
Търсим члена от най-висока степен, значи x на квадрат,
по цялото това нещо е x на квадрат
минус 3x минус 40 – и сега да извадим това от това
и да видим какво остава
Вижте , тъй като това е изваждане, имам
минус минус, което е плюс и сега можем да ги съберем
Това се анулира
Минус 2x плюс 3x – това е x
Минус 37 плюс 40 – това е плюс 3
Значи, този израз тук може да бъде преписан като (нека
се преместя малко надолy) като 1 плюс x плюс 3 върху x на квадрат
минус 3x минус 40
Може да ви изглежда, че съм направил някаква магия тук,
но това е същото като нещата, които сте учили в четвърти или пети
клас – превръщане на направилни дроби в смесени числа
-
Нека ви дам един малък пример
Нека имам 13 на 2 и искам да превърна това в смесено число,
Сега сигурно можете да си го превърнете наум, но са ви учили,
да разделите числителя на знаменателя
Точно както направихме тук
13 на 2
2 влиза в 13 шест пъти, 6 по 2 е 12, вадим
това от това и имаме остатък 1
2 не влиза в 1, значи това ни е просто остатък
Ако препишем това, ще имаме колко пъти знаменателят
влиза в числителя, това ни е 6, плюс
остатъка върху знаменателя
Плюс 6 плюс 1 върху 2
В малките класове сте записвали това
просто като 6 ½, но 6 ½ е същото като 6 плюс 1/2
Точно това направихме тук
Знаменателят влезе в числителя един път и
ни остана остатък x плюс 3 – значи имаме 1 плюс
x плюс 3 върху този израз
Сега виждаме, че чилителят на този рационален израз
в действителност има по-ниска степен от знаменателя
Тук най-високата степен е 1, а тук е 2
Значи сме готови да започнем с разлагането на частични дроби
А това е просто да вземем този израз горе и да го превърнем
в по-прости изрази, където знаменателите са множителите
на този, по-нисък член
Сега, нека разложим този, по-нисък член
Да видим
Кои са тези две числа, чийто сбор е минус 3 и чието
произведение е минус 40 ?
Да видим
Трябва да имат различни знаци, защото когато се
умножат дават отрицателно число, значи това
ще са минус 8 и плюс 5
Ще взема друг цвят и ще препиша това тук горе
като 1 плюс x плюс 3 върху x плюс 5 по x минус 8
5 по минус 8 е минус 40, плюс 5
минус 8 е минус 3 – значи всичко е точно
Сега ще се съсретоточа върху тази част
Можем просто да запомним, че това 1 стои
тук отпред
Това е израза, който искаме да разложим или разширим
Ще го разширим в два по-прости израза
ще направя твърдение и, ако числата ми
излязат правилни, значи твърдението е правилно
Така, твърдя, че мога да разширя или разложа
това в дроби, където първата дроб е просто
някакво число върху пъpвия множител, върху x плюс 5, плюс някакво число b върху
втория многжител – върху x минус 8
Това ми е твърдението и ако мога да го реша за а и b, така
че да ми се получи това, значи съм готов и ще съм
разложил тази дроб напълно
(Не знам дали това са правилните
термини)
Нека опитаме да направим това
Ако събера тези два члена, какво ще получа ?
Когато събираме нещо, търсим общ знаменател, а най-
лесният общ знаменател е просто да умножим двата знаменателя
Нека напиша това тук
Значи, а върхy x плюс 5 плюс b върху x минус 8 е равно на
(да вземем общия знаменател) на
x плюс 5 по x минус 8
Да видим члена а – а върху x плюс 5 е същото
като а по x минус 8 върху всичко това
Така, ако напиша това тук, тези два члена
ще се анулират и ще имаме а върху x плюс 5
И можем да добавим това към общия множител, x плюс
5 по x минус 8 и това ще е b по x плюс 5
Важно е да видим това :
Този член е същият като този ако просто
анулираме това x минус 8 и този член е
същият като тови ако просто анулираме x плюс 5
Сега, тъй като имаме общ знаменател, можем да
ги съберем, така че ето какво ще получим
(нека напиша това отляво)
Искам да напиша тук x плюс 3 върху плюс 5
по x минус 8 е равно на сбора на
тези две неща горе
а по x минус 8 плюс b по x плюс 5 – всичко това върху
общия знаменател, x плюс 5 по x минус 8
Знаменателите са ни същите – значи знаем, че
когато съберем това, трябва да получим това
За да решим това за а и b, не
е нужно да обръщаме внимание
на знаменателите
Можем да кажем, че x плюс 3 е равно на а по x минус
8 плюс b по x плюс 5
Сега, оттук имаме два начина, по които да решим
за а и b
Единият от начините е нещо, което знам от седми или
осми клас, но този начин е малко по-дълъг
Има и по-бърз начин и винаги е по-добре да опитаме
по по-бързия начин
Ако искаме да решим за а, нека вземем някакво x,
което ще накара този член да изчезне
Какво x би накарало този член да изчезне ?
Ами, ако кажа, че x е минус 5, тогава това става 0 и
b изчезва
Така, че ако x е минус 5 (просто взимам произволно x
за да реша това), тогава ще имам минус 5
плюс 3. Нека разпиша това, минус 5 плюс 3 е равно
на а по минус 5 минус 8, нека запиша,
минус 5 минус 8, плюс b по минус 5 плюс 5
Избрах минус 5, за да стане този израз 0
Взимам ярък цвят и получавам минус 5 плюс
3 е минус 2, е равно на – какво е това ?
минус 13а плюс – това е 0, нали ?
Минус 5 плюс 5 е 0, 0 по b е 0
и сега делим двете страни на минус 12,
отрицателните се анулират и получаваме
2 върху 13 е равно на а и сега можем да направим същото
тук горе и да се освободим от а-тата като направим x да е равно на 8
Ако x ни е 8, имаме x плюс 3 е равно на 11, е равно
на а по 0 плюс b по (8 плюс 5...)
плюс b по 13.
Това b малко прилича на 13
И получаваме, че 11 е равно на 13b, делим двете страни на 13
и получаваме b равно на 11 върху 13
Значи, успяхме да решим за а и b
Можем да се върнем към началното уравнение
И можем да кажем...
Това просто трябва да е равно на 2 върху 13 и това
трябва да е равно на 11 върху 13.
-
Значи, съвсем началното уравнение, което написахме
тук горе, може да се разложи като 1 (това 1 тук), плюс
това, което е 2 върху 13 (ще го напиша просто
така засега) 2 върху 13 върху b плюс 5
Ако искате, можем да свалим това 13 тук, за
да нямаме дроб върху дроб
Плюс 11 върху 13 върху x минус 8
И, пак казвам, можем да свалим това 13, за да нямаме
дроб върху дроб
И сега съм разложил тази дроб
Няма да кажа, че съм я опростил, защото
можете да кажете, че преди имахме само 1 израз,
а сега имаме три. Но пък съм намалил степента
на числителите и на знаменателите
И може да кажете, ама Сал, за какво ни е
да правим това ?
И сте прави
В алгебрата вероятно няма да ви е нужно
Но пък това ще е много полезен метод за по-късно, когато
ще се занимавате с висша математика и с диференциални уравнения,
защото често е много по-лесно (извинете за непознатите
думи) да вземем интеграла
или примитивната функция на нещо такова,
отколкото на нещо такова
И по-късно, когато се занимавате с обратни трансформации на Лаплас
и диференциални уравнения, ще е много по-лесно
да използвате това уравнение, отколкото това
-
Както и да е, надявам се, че съм ви предоставил още един
инструмент, с който да боравите. И сигурно ще направя
още няколко клипа за това, защото не съм изчерпал
полезните примери
за разлагане на частични дроби
-