Tip:
Highlight text to annotate it
X
Нека намерим обема на няколко по-солидни фигури, и ако имаме време, можем да сме в състояние да решим повече задачи с лица.
Нека тук начертая един цилиндър.
Това е върхът на моя цилиндър,
а това е височината му.
Това тук е дъното.
Ако беше прозрачен, вероятно бихме видели другата му страна.
Така че можем да си представим, че това е кутийка за сода.
Да кажем, че височината на моя цилиндър h
е равна на 8. Ще използвам някакви единици - 8 см.
Това е моята височина.
Тогава нека радиусът на една от тези фигури на върха на моя цилиндър, или на моята кутийка за сода,
да кажем, че този радиус тук е равен на 4 см.
Така че какъв е обемът тук?
Какъв ще е обемът?
Идеята тук реално е същото нещо, което видяхме в някои от предните задачи.
Ако можем да намерим лицето на едната страна
и дълбочината, ще можем да намерим обема.
И това, което ще направим тук, е че ще намерим лицето на основата на този цилиндър.
Основата на тази кутийка за сода,
след което ще я умножим по височината, и така ще получим обема.
Това ще ни покаже точно колко квадратни сантиметра се съдържат в този връх
и тогава, ако знаем; ако умножим това по колко сантиметра слизаме, тогава това ще ни даде броя
кубични сантиметра в този цилиндър, или кутийка от сода.
Та как намираме това лице тук?
Ами лицето на върха,
то е лице на кръг.
Можем да си представим, че начертано изглежда така.
Ако направо го погледнем,
това е кръг с радиус 4 см.
Лицето на кръг с лице 4 см.
лицето е равно на пи по r на квадрат.
Така че ще имаме
пи умножено по радиуса на квадрат
по 4 см на квадрат,
което е равно на
4 на квадрат, т.е. 16,
умножено по пи,
и сега нашите единици
ще са сантиметри на квадрат
или квадратни сантиметри.
Така че това е лицето.
Обемът ще е
това лице умножено по височината.
Т.е. обемът ще е равен на
16 пи см на квадрат умножено по височината
по 8 см,
по 8 см и така,
когато извършваме умножението,
можем да използваме присъединителното свойство,
и така да прегрупираме тези елементи.
Няма значение реда, в който го правим.
Всичко това е умножение.
Така че това ще е равно на 16 по 8.
Да видим, 8 по 8 е 64.
16 по 8 е два пъти по това, така че ще е равно
на 128 пи, след това имаме сантиметра на квадрат, по сантиметра
и това дава сантиметри на куб
или 128 пи кубични сантиметра.
Запомнете, че пи е просто едно число.
Пишем го като пи, защото представлява едно неопределено ирационално число,
което ако го пишем, никога няма да можем напълно да го напишем цялото.
3,14159 и така до безкрайност,
без да се повтори,
и затова го оставяме просто като пи.
Но ако искаме да го намерим, можем
да вземем калкулатор и ще получим около 3,14
умножено по 128,
така ще получим число близо до 400
кубични сантиметра.
Сега, как ще намерим повърхнината на тази фигура тук?
Ами, част от повърхнината са двете основи, тази на върха и тази на дъното.
Това ще е част от повърхнината.
Тогава дъното тук също ще е част от повърхнината.
И ако се опитваме да намерим повърхнината,
нека го направим,
нека намерим повърхнината на нашия цилиндър.
Тя определено ще включва тези две лица тук.
Т.е. ще е равна на 16 пи квадратни см по 2,
това е 16 пи, това е 16 пи квадратни см.
И ще имаме два пъти по 16 пи
см на квадрат.
Ще запазя единиците така,
за да се запълнят върхът и дъното на нашата кутийка за сода.
И сега трябва да намерим повърхнината на това нещо,
и начинът, по който си представям това е следния:
да кажем, че се опитваме да опаковаме това тяло с опаковъчна хартия.
Нека го нарисувам.
Нека тук използвам
малка пунктирана линия.
Нека си представим, че тук го разрязваме така.
Разрязваме от едната страна кутийката за сода, и ако отвием
ако отвием малко
това нещо, което се увива около нея,
какво ще имаме?
Ами ще имаме нещо,
ще имаме лист хартия, дължината на който,
тази дължина тук,
тази дължина тук
е равна на дължината тук.
И тогава кутийката ще е напълно отвита.
И тези два края...
Нека използвам ярко червен цвят...
Тези два края са се докосвали един с друг,
и нека използвам цвят, който досега не съм използвал.
Това ще е розово.
Тези два края са се докосвали един с друг,
когато всичко е било увито,
И те са се докосвали един с друг там.
А дължината на тази страна и тази страна
ще е равна на височината на моите цилиндри.
Това ще е 8 сантиметра и
тогава това тук също ще е 8 сантиметра.
И въпросът, който ще си зададем е следният:
каква ще е мярката тук на това място?
И трябва да си спомним, че тази мярка по същество представлява
обиколката на цилиндъра.
И ако помислим малко,
тя ще е равна на дължината на
окръжността или на горната, или на долната
основа на цилиндъра.
Така че каква е дължината на окръжността?
Окръжността на този кръг тук,
което е същото като окръжността на този кръг там. Имаме равенство с 2 пъти по радиуса
по пи. Или 2 пъти по пи по радиуса. 2 пи по 4 см е равно на 8 пи см. Така че това разстояние тук
е дължината на окръжността, която е или на горната, или на долната основа на цилиндъра. Тя ще е 8 пи см.
Сега, ако искаме да намерим повърхнината на опаковката. Т.е. тази част, която обвива цилиндъра,
без върха и дъното. Тя ще бъде отвита и ще изглежда като този правоъгълник.
Неговото лице, лицето само на тази част ще е равно на 8 см по 8 пи см.
Нека го пресметна, ще е 8 см по 8 по пи см, което дава 64 пи. 8 по 8 е 64.
Имаме нашите пи см на квадрат. И когато търсим повърхнината на цялата фигура,
включваме върха и дъното. Вече ги определихме. След това искаме да намерим лицето на
околната повърхнина. Вече я намерихме, така че ще имаме плюс 64 пи см на квадрат и остана да
го пресметнем. От това имаме, 2 пъти по 16 пи ще е равно на 32, това е 32 пи см
на квадрат. Плюс 64 пи, нека отида малко надясно. Плюс 64 пи квадратни см.
И тогава 32 плюс 64 е 96 кв. см, т.е равно е на 96 пи кв. см, което ще е малко повече от 300 кв. см.
Забележете кога намерихме повърхнината. Намерихме отговора в кв. см. Това е логично, защото
Лицето на повърхнината е двуизмерна единица. Мислим за това колко кв. см могат да се впишат на повърхността на
цилиндъра. Намерихме обема в куб. см, поради това че се опитваме да намерим кубичните
сантиметри един по един. 1 по 1 по 1 куб. см могат да се впишат в тази структура, ето защо сантиметрите са кубични. Както и да е, това дава малко повече яснота за нещата.